Boxplot präsentieren: Median, Streuung und auffällige Werte erklären

Ein Boxplot hilft, Lage und Streuung numerischer Beobachtungen zwischen Gruppen zu vergleichen. Die Linie in jeder Box zeigt den Median, die Box reicht vom unteren bis zum oberen Quartil, und die Whisker folgen einer festgelegten Regel. Im folgenden Beispiel erscheinen auffällige Beobachtungen als einzelne Punkte, statt den Whisker bis zum größten Wert zu verlängern.

Das Format ist sinnvoll, wenn die Frage nach dem höheren Durchschnitt zu kurz greift. Zwei Gruppen können denselben Median und unterschiedliche Streuungen haben. Eine Gruppe mit niedrigerem Median kann trotzdem einen sehr langen Einzelfall enthalten. Eine gute Folie zeigt diese Unterschiede, ohne einen Sieger zu erklären, den die Daten nicht belegen.

Für die Diagrammwahl zählt die Frage: Ein Boxplot vergleicht Verteilungen auf derselben numerischen Skala; ein Histogramm zeigt die Häufigkeitsverteilung genauer nach Wertebereichen. Bei sehr kleinen Datensätzen sollten auch einzelne Punkte sichtbar bleiben. Sie zeigen, was die kompakten Boxen auslassen.

Die Box verstehen, bevor Sie die Überschrift schreiben

Der Boxplot-Leitfaden des NIST beschreibt sowohl Whisker vom Minimum bis zum Maximum als auch eine Variante mit rechnerischen Grenzen für auffällige Beobachtungen. Hier verwenden wir die zweite: Der Interquartilsabstand, kurz IQR, ist Q3 minus Q1. Die Grenzen liegen bei Q1 − 1,5 × IQR und Q3 + 1,5 × IQR. Die Whisker enden bei den kleinsten und größten tatsächlich beobachteten Werten innerhalb dieser Grenzen. Werte außerhalb bleiben einzelne Punkte.

Diese Konvention ist für die Erklärung entscheidend. Der obere Whisker zeigt nicht unbedingt das Maximum. Eine rechnerische Grenze ist weder eine zusätzliche Beobachtung noch automatisch ein Whiskerende. Nennen Sie die Regel nahe an der Grafik, damit niemand die Bedeutung der Linien erraten muss.

Mit drei vergleichbaren Gruppen beginnen

Betrachten wir einen fiktiven Verpackungsbetrieb mit drei Stationen. Die Tabelle enthält je zehn abgeschlossene Aufträge, gemessen in Minuten vom Beginn bis zum Ende des Verpackens. Die Werte veranschaulichen das Diagramm; sie sind weder Ergebnisse eines Presenti-Kunden noch ein gemessener Produktvergleich.

Alle Gruppen verwenden dieselbe Einheit und Definition von Beginn und Ende. Dadurch sind die Zahlen gemeinsam lesbar, aber nicht automatisch unter gleicher Belastung entstanden. Artikel, Auftragskomplexität und Personalbedingungen sind im Beispiel nicht angegeben. Noch nicht abgeschlossene Aufträge werden ebenfalls nicht beschrieben. Für betriebliche Empfehlungen braucht ein realer Vergleich diesen Kontext.

Bewahren Sie in den Ausgangsdaten eine Zeile pro Auftrag auf. Würden Sie zunächst jede Station mitteln, blieben nur drei Zahlen übrig. Die Unterschiede innerhalb der Stationen, die der Boxplot erklären soll, wären verloren.

Eine Box aus den Einzelwerten berechnen

Für dieses Beispiel berechnen wir die Quartile als Median der unteren Hälfte und Median der oberen Hälfte. Jede Gruppe enthält zehn sortierte Werte. Der Gesamtmedian ist der Mittelwert der Positionen fünf und sechs. Q1 ist der Median der Positionen eins bis fünf, Q3 der Median der Positionen sechs bis zehn. Diese Regel gilt für alle drei Gruppen.

An Station A lässt sich die Rechnung leicht nachvollziehen. Die Positionen fünf und sechs enthalten jeweils 7, also ist der Median 7. Die unteren fünf Werte lauten 4, 5, 6, 6, 7; ihr Median ist 6. Die oberen fünf lauten 7, 8, 8, 9, 20; ihr Median ist 8. Damit beträgt IQR = 8 − 6 = 2 Minuten.

Die untere Grenze ist 6 − 1,5 × 2 = 3, die obere 8 + 1,5 × 2 = 11. Bei A gibt es keine Beobachtung mit 3 oder 11 Minuten. Der kleinste Wert innerhalb der Grenzen ist 4, der größte 9. Dort enden die Whisker. Der Auftrag mit 20 Minuten erscheint als einzelner Punkt.

Alle Tabellenwerte sind Minutenangaben. Ihre Tabellenkalkulation oder Diagrammsoftware kann eine andere Quartilsdefinition verwenden und insbesondere bei kleinen Stichproben andere Boxgrenzen liefern. Prüfen Sie die Einstellung und verwenden Sie sie einheitlich. Verschieben Sie keine Boxkante von Hand, um sie einem anders berechneten Diagramm anzupassen. Bewahren Sie Rohdaten und gewählte Konvention zusammen mit der Grafik auf.

Alle drei Boxen auf derselben Skala zeigen

Hier eignet sich eine waagerechte Darstellung mit einer Zeile pro Station und einer gemeinsamen Zeitachse von 0 bis 22 Minuten. Die Boxen erhalten dieselbe Höhe. Schreiben Sie „n = 10“ neben jede Station, statt das Publikum die Stichprobengröße aus der Form ableiten zu lassen.

Zeichnen Sie die Medianlinie deutlich und die Endmarkierungen der Whisker an den tatsächlichen Endpunkten. Zeigen Sie die 20-Minuten-Beobachtung, ohne die Achse vorher abzuschneiden. Bei nur zehn Aufträgen je Station können kleine Einzelpunkte über oder unter der Box die Ausgangsbeobachtungen erhalten. Wiederholte Werte werden senkrecht versetzt; ihre waagerechte Position bleibt exakt.

Verwenden Sie direkte Beschriftungen und zurückhaltende Farben. Ein leuchtend roter Punkt kann wie ein Fehler oder Versagen wirken. Hier erfüllt er lediglich die festgelegte statistische Markierungsregel. Steht ein bestimmter Vergleich im Mittelpunkt, heben Sie dieses Paar hervor und lassen die dritte Station als Kontext lesbar.

Unter die Grafik gehört eine kurze Erläuterung: „Fiktive abgeschlossene Aufträge; n = 10 je Station. Quartile: Mediane der beiden Hälften. Whisker: beobachtete Werte innerhalb der 1,5-IQR-Grenzen.“ Die ausführliche Rechnung gehört in die Tabelle oder Begleitnotizen, nicht quer über das Diagramm.

Die Vergleichsfrage der Folie festlegen

Geht es um eine typische Verpackungszeit, könnte die Überschrift lauten: „A hat den niedrigsten Median und einen Auftrag mit 20 Minuten.“ Beide Teile sind erkennbar: Der Median von A liegt bei 7 Minuten statt 9 bei B und C, und die längste Beobachtung bleibt sichtbar. „A ist die schnellste Station“ würde die Streuung verdecken und mehr behaupten, als diese Aufträge belegen.

Geht es um Gleichmäßigkeit, passt eine andere Überschrift: „B und C haben denselben Median; die mittlere Hälfte streut bei B stärker.“ Beide Mediane liegen bei 9, aber die Box von B reicht von 7 bis 11, die von C von 8 bis 10. Erklären Sie diese Endpunkte, statt eine Box pauschal „besser“ zu nennen.

Überlappende Boxen sind kein Signifikanztest; nicht überlappende Boxen beweisen ebenso wenig Signifikanz. Es handelt sich um beschreibende Beobachtungen aus einem kleinen Beispiel. Die Grafik belegt weder eine Ursache durch die Station noch dass künftige Aufträge genauso verlaufen oder ein Personalwechsel die Leistung verbessert.

Ein Boxplot verbirgt auch Teile der Verteilungsform. Geht es bei einer größeren Datenmenge um Häufungen oder Lücken, kann das oben verlinkte Histogramm aussagekräftiger sein. Wählen Sie die Grafik passend zur Frage, statt mehrere Diagrammtypen auf dieselbe Folie zu setzen.

Einen auffälligen Punkt untersuchen, ohne ihn zu löschen

Prüfen Sie beim 20-Minuten-Auftrag von A den Datensatz: Stimmen Einheit und Zeitstempel? Gehört er zum definierten Verpackungsintervall? Ist eine Unterbrechung dokumentiert? Das Diagramm allein beantwortet diese Fragen nicht. Ein korrekt erfasster komplexer Auftrag ist etwas anderes als ein Zeitstempel mit falscher Einheit.

Ist der Eintrag korrekt, bleibt er erhalten. Bei einem bestätigten Quellenfehler korrigieren Sie die Ausgangsdaten und berechnen die gesamte Grafik neu. Benötigen Sie eine engere Auswahl von Auftragstypen, benennen Sie diese Auswahl und behalten die Gesamtsicht als Kontext. Den längsten Auftrag nur für ein aufgeräumteres Bild zu entfernen, verändert die Frage, ohne es dem Publikum mitzuteilen.

Den Vergleich in ein Folienbriefing übersetzen

Bereiten Sie eine Grafik, eine belegte Überschrift und die zum Verständnis nötigen Angaben vor. Für das Beispiel eignet sich dieses Briefing:

Vergleiche Verpackungszeiten dreier fiktiver Stationen mit jeweils zehn abgeschlossenen Aufträgen. Zeige waagerechte Boxplots auf einer gemeinsamen Achse von 0 bis 22 Minuten anhand der bereitgestellten Rohdaten und Quartile. Berechne Quartile als Mediane der Datenhälften und Whisker bis zu beobachteten Werten innerhalb der 1,5-IQR-Grenzen. Der 20-Minuten-Auftrag von A bleibt sichtbar. Die Hauptaussage lautet: „B und C haben denselben Median; die mittlere Hälfte streut bei B stärker.“ Nenne Stichprobengrößen und Messdefinition. Behaupte weder Signifikanz noch Kausalität oder eine Produktivitätsrangfolge.

Verwenden Sie die geprüfte Grafik und das Briefing für einen Präsentationsentwurf in Presenti und bearbeiten Sie anschließend Überschrift und Erklärung. Kontrollieren Sie jedes eingefügte Diagramm anhand der berechneten Werte; die Erstellung von Folien validiert keine Statistik. Am Ende sollte das Publikum den Median erkennen, die Streuung innerhalb der Box erklären und verstehen, was der einzelne Punkt aussagt und was nicht.